martes, 5 de febrero de 2013

Derivabilidad de una función definida a trozos

Esta noche os voy a dejar planteado un ejercicio tipo muy sencillo que, como casi siempre, encierra una pequeña trampa.

Se trata de estudiar la derivabilidad de una función definida a trozos justo en el punto en que pasamos de una definición a otra.

La trampa está en que muchas veces estos ejercicios se enseñan mal. Es una práctica muy extendida entre muchos profesores de bachillerato (y algunos universitarios) comprobar la derivabilidad evitando la definición. Es más sencillo mirar si la función derivada es continua y, en caso de serlo, deducir que la función es derivable.
Lo malo es que esta técnica es incorrecta y puede dar lugar a muchas confusiones, como la que os mostramos en este ejercicio.
¡Y este error circula hasta por internet! Podéis comprobarlo en este enlace (que corresponde a la, por otra parte, muy recomendable página lasmatematicas.es) en el que el ejercicio se realiza de forma no del todo correcta.

Espero que esta entrada aclare os pueda aclarar un poco este punto.




14 comentarios:

  1. Sigo sin ver el problema respecto a la enseñanza de estos ejercicios. No he encontrado en ningún lugar un procedimiento que se salte la comprobación de si la función es continua antes de comprobar si su derivada lo es. Por supuesto que se pueden encontrar ejercicios mal resueltos y mal explicado, pero generalizar por unos casos contados, es un tanto exagerado.

    Yo de momento no me he topado con ningún compañero en mi trabajo (soy profesor) que hayan tenido problemas con esto. Este error, en el caso de un alumno es comprensible, pero en el caso de una persona que se supone debe ver evidente las soluciones de ejercicios matemáticos de este nivel, sólo es posible por un auténtico patinazo, y le puede pasar, aunque infrecuentemente, a cualquiera.

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  2. Yo me refería a la técnica de ir directo a mirar la continuidad de la derivada en vez de comprobar si es derivable usando la definición de derivada por la izquierda y derivada por la derecha.
    Sí, ya sé que tiene justificación teórica: si la función es de clase 1 en (a-epsilon,a] y en [a, a+epsilon) ambas técnicas son equivalentes... pero eso no se explica.
    Yo creo que eso confunde a los alumnos, puede dar lugar a errores, y no permite profundizar en un concepto matemático que debe quedar totalmente claro cuando se acaba un curso básico de análisis de funciones reales de variable real: el de derivada.
    Y sí, estoy de acuerdo con usted en que el 99% de los profesores miran primero la continuidad y no cometen un error tan burdo como el que marco yo en azul, pero yo intento pensar en lo que pueden hacer los alumnos.
    ¡Gracias por su comentario!

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    1. Estoy totalmente de acuerdo con usted. La dificultad surge cuando no es sencillo hallar las derivadas laterales a partir de la definición, porque las funciones no son polinómicas (por ejemplo). Pero aún con limitaciones es mejor que se aplique la definición en lugar de usar técnicas basadas en el "teorema del valor medio" que es desconocido para alumnos de bachillerato y en otro caso advertir que esto se "sale" del contenido de un curso de Matemáticas en bachillerato.

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  3. En efecto, a mí por lo menos se me fue enseñado que, aunque solo se pida la derivabilidad de una función definida a trozos, primero hay que comprobar si es continua, ya que si no lo es tampoco será derivable. Por lo general terminan siendo ambas cosas para que el alumno desarrolle el ejercicio completo, pero hay algunas...

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  4. Lo que no entiendo es el por qué en algunas funciones para estudiar derivabilidad hay que usar la def. de derivada. El año pasado en Bachillerato personalmente me enseñaron que con hacer exclusivamente los límites de la derivada por la izquierda y por la derecha (y si estos coincidían) llegaba para que fuera derivable. (Obviamente, previa comprobación si la función es continua en el punto problemático)

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    1. Es la discusión clave de este ejercicio. Aunque hacerlo como te lo enseñaron a ti en Bachillerato tiene una justificación teórica (o sea, en el fondo está bien), como esa misma explicación teórica no se puede contar en un curso básico, al hacerlo así se está haciendo "trampa".
      Si lo piensas, lo único que estás haciendo al mirar si los límites laterales de la derivada coinciden es comprobar si existe el límite de la derivada, no se existe la derivada en sí.

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  5. Entonces, ¿cuándo se estudia la derivabilidad mediante 1. Continuidad y 2. Limite de la función f ' y cuando mediante la definición de derivada?

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  6. ¿Por qué en el cálculo de la derivada lateral por la derecha en -1 la imagen de f(-1) es -3? Estamos usando la función (x+1)^3 +2*x y ahí la imagen sería +2. no (-3). O es que ¿para la imagen de f(x0) se emplea la definición 2*x-1 en ambas derivadas laterales? Es que haciéndolo de la otra forma sí que coinciden los límites laterales en 2.

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  7. la función g(x) que pones no es continua en x=0, puesto que no está definida en ese punto, no obstante me gustó el ejemplo, gracias por el aporte

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  8. mi comentario sobre que no estaba definida en x=0 comprendo que se define con el valor 0, estaba un poco espesa, gracias por el ejemplo, muy útil

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  9. A ver, si probamos la continuidad de f, derivamos la función a trozos f' y comprobamos la continuidad de f' en el punto y resulta que f' no puede ser continua, ¿no es un error concluir con eso que no es derivable?

    Digo yo, apoyándome en el ejemplo que se expone F(x)=x^2*sen(1/x)

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    1. ¡Hola, Mónica!
      Lo que quería explicar en este ejercicio es el camino a seguir para mirar la derivabilidad en un punto en el que la función cambia: 1. continuidad; 2. existencia de f' por la definición; 3. continuidad de f'; 4. existencia de f'' por la definición; 5. continuidad de f''; etc.

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    2. Contestando más concretamente a tu pregunta: si sólo comprobamos la continuidad de f y que los límites laterales de f' son distintos (lo que implica que f', si existe, no puede ser continua), es un error deducir de ahí nada sobre la derivabilidad de f. Puede ser que no sea derivable, pero también puede ser que sí lo sea.

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    3. muchas gracias por la respuesta, estuve desenganchada, parece ser que en caso de que los límites laterales de la derivada existan y sean finitos y distintos si que se puede concluir que no es derivable, Me gustó mucho el aporte, gracias

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