lunes, 30 de enero de 2017

Examen de enero de 2017. Aplicación del Teorema Fundamental.

¡Buenas!

Seguimos mostrando las soluciones a las preguntas del examen de enero de este 2017. Ahora le toca el turno a la segunda pregunta.

Es un problema en el que tenemos que calcular los extremos relativos de una función, es decir, sus máximos y mínimos relativos. Ya sabéis, ver dónde se anula la primera derivada y, en esos puntos, comprobar si la segunda derivada es positiva (mínimo relativo) o negativa (máximo).

Así dicho parece sencillísimo... y lo es, pero hay una pequeña trampa, y es que la función se define mediante una integral, por lo que para deducir su derivada debemos aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo.

De todos modos, una vez hecho esto, la solución del problema no puede ser más sencilla. La primera derivada es el coseno y la segunda derivada el seno con signo negativo. Vamos, que una vez conocida F' este ejercicio sería un chollazo en selectividad.

E, incluso, si no nos acordamos del Teorema Fundamental, podemos utilizar un pequeño truco que os cuento al final de todo.

¡Vamos allá!



miércoles, 25 de enero de 2017

Ejercicio "teórico" sobre la inversa de la tangente

¡Buenas!

Pues "ya" tenemos las notas del examen. Desde luego, son mucho peores de lo que yo esperaba, pero...
Sólo 135 aprobados de 308 presentados, en un examen que me parece muy fácil y que, además, era el primero del cuatrimestre. ¡Uf!

En fin, sigo colgando las soluciones a los ejercicios del examen. Ahora voy con la primera pregunta, la que muchos os sorprendió a muchos de vosotros.
Realmente, se trata sólo de un par de preguntas más o menos teóricas (no esperamos que nadie hiciera las demostraciones) sobre una de las funciones elementales que tanto insistimos en las primeras clases que debéis dominar a la perfección.
¡Vamos! Saber que la inversa de la tangente es el arco-tangente, y un par de cosas sobre esta función no es para asustar a nadie, creo yo.

He intentado resolverlo con calma para ir aclarando dudas sobre lo que es una función inversa, pero la respuesta que esperábamos en el examen era mucho más breve y concisa. Básicamente, en 5 líneas estaba lista esta pregunta.

Si alguien tiene curiosidad por saber cómo se deduce la fórmula de la derivada, la puede ver aquí: https://proofwiki.org/wiki/Derivative_of_Arctangent_Function
Sí, existe una wiki de demostraciones. ¡Hay frikis por todas partes!

miércoles, 18 de enero de 2017

Ejercicio de integración numérica del examen de enero de 2017.

¡Buenas!

Pues vamos a empezar a colgar las soluciones de los ejercicios del último examen. Y voy a empezar por el que me ha tocado corregir a mí: el ejercicio número 5.

Es un ejercicio muy sencillo en el que hay que aproximar una integral de Riemann mediante las fórmulas compuestas de punto medio y trapecio.

No conocemos exactamente cómo es f, sino solo sus valores en algunos puntos, pero esto no añade ninguna dificultad al ejercicio (me atrevería a decir que, al contrario, lo simplifica).

Solo añadir que para aplicar la fórmula compuesta del punto medio no tenemos más que una opción: hay que tomar los puntos de 3 en 3 (subintervalos de longitud 0.2), para que haya un "punto medio" en cada subintervalo.
Sin embargo, para trapecio compuesto tenemos dos opciones: tomar los puntos de 3 en 3 o de 2 en 2.  En este caso creo que el sentido común nos indica cuál es la opción más correcta, ya que debemos intentar aprovechar todo el conocimiento que tengamos de la función, ¿no?

¡Espero que os haya salido perfecto!


lunes, 9 de enero de 2017

Examen de enero 2017

¡Buenas!

Para muchos, el de hoy fue el primer examen en la universidad. ¿Muy nerviosos? Espero que la experiencia no haya sido demasiado traumática... 

Aún tuvimos más presentados que el año pasado: algo más de 300. ¡Esperemos que también sea alto el número de aprobados!

En fin, hoy os dejo el enunciado del examen. En los próximos días intentaré ir colgando las soluciones a cada uno de los ejercicios. Espero cumplir este año.

Vamos a recapitular brevemente. Seis preguntas:

  1. Una pregunta semi-teórica sobre el arco-tangente... ¿Os pilló en fuera de juego?
  2. Cuestión sobre el Teorema Fundamental (sólo hay que igualar la derivada a 0).
  3. Una EDO facilita con una aplicación de la ley de enfriamiento.
  4. Volumen de revolución chupado (integrar una resta de polinomios, no es impropia ni nada así).
  5. Aplicación directa de las fórmulas del punto medio y del trapecio compuesto.
  6. Una serie numérica dependiente de un parámetro "a".

Como siempre, espero vuestros comentarios: ¿Qué tal os salió? ¿Era lo que esperabais? 


lunes, 5 de diciembre de 2016

Temperatura del cadáver. Ejercicio sobre la ley de enfriamiento de Newton.

¡Buenas!

Hoy vamos a resolver un problema muy sencillo sobre una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO).

El pequeño pero es que es un ejercicio con texto, lo que puede descentrarnos un poco y hacer que parezca más difícil de lo que realmente es.

En esta ocasión se trata de una aplicación directa de la Ley de Enfriamiento de Newton sobre la hipotética muerte de un actor por unas fiebres mientras rueda en África (¿inspirado en el rodaje de La reina de África?).

Vais a ver que no tiene ninguna dificultad... si os atrevéis a superar la repulsa consustancial a los problemas matemáticos con texto.

¡A por el ejercicio! ¡Que no quede un número en su sitio!